河北衡水中学2014届高三上学期二调理科数学试题答案(2)

二、填空题
13、    14、   15、    16. ①②③
三、解答题
17、解：（I）∵，∴，根据正弦定理，得， 
又，            
，，，又；sinA= 5分    
（II）原式，
，                     
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是．。。。。。。10分
18、[解析]　（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式
∴数列{an}的通项公式为an＝2n.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
(2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)①
∴an＋1＝＋＋＋…＋＋②
②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)． ………………………………………………..6分
(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①
则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②
①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1
∴Hn＝。
∴数列{cn}的前n项和Tn＝＋. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分


方法（二）：也可做辅助线，过点D作DE∥AB。
20、解：（1）（且）
，解得，所以函数的定义域为
令，则……（*）方程变为
，，即
解得，……4分
经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为.。。。。。6分
（2）（）
，
设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，，所以。①若，则，方程有解；②若，则，方程有解。。。。。12分
21. ⑴因为函数，
所以，，…………………………………………2分
又因为，所以函数在点处的切线方程为． …………4分
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数，
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．………………………………………………8分
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．
又因为，，的变化情况如下表所示：
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值
，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
22、（Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，
　由解得. ………2分
　∴,，
　令，，得；   令得，
　所以在上单调递减；在上单调递增.……4分
　故函数至多有两个零点，其中，
　因为，
　，所以，故．……6分
　（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，
　令，只需存在使得即可，
　由于=，
　令，，
　∴在(1，e)上单调递增，，………9分
　①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.
　②当，即时，，
　若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,
　∴存在，使得，符合题意.
　若，则，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.
　综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立.…………12分

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