2015黄冈3月调研理科数学试题及答案(2)

一. 选择题
1. B2. A3. D4. C5. B6. D7. A8. D9. B10. B
二. 填空题
11. 3012. 0. 12513. 14. n·2n-115. 16. 
三. 解答题
17. 解：（1）f（x）＝2（sinx＋cosx）cosx－＝sinxcosx＋cos2x－
＝sinx＋cos2＝sin（2x＋）…………………………5分
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得
x∈[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）
即函数f（x）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）……………6分
（2）∵0＜A＜π∴＜2A＋＜π,fA. ＝sin（2A＋）＝
∴2A＋＝或2A＋＝π，即A＝或A＝…………………………8分
A＝时，C＝π，a＝2sinA＝·2＝－1,S△ABC＝absinC＝………10分
②当A＝时，C＝，S△ABC＝ab＝2…………………………………………11分
注：得一解只给9分
18. 【解析】（1）∵，∴①
∵a1+2,2a2,a3+1成等差数列，∴a1+2+a3+1=4a2,②…………………2分
②－①得，即③又由①得，④
消去得，，解得或（舍去）
∴………………………………………………4分
当N*时，，当时，
∴当时，，即…………6分
故N*）………………………………………………8分
（2）S9==29-1=511，T38==2147. ……………………10分
∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中所有元素之和=S9+T38-85=511+2147-85=2573. …………………12分
19. 解法一:（1）∵四边形BCC1B1是边长为6的正方形,∴BC=CC1=AA1=6. 
∵∠ACB=90°,∴AC⊥B C. 又易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC,又AC∩AA1=A,
∴BC⊥平面ACC1A1. ∠BAC就是直线AB与平面ACC1A1所成的角,
∴tan∠BAC===3,∴AC=2,又BC∥B1C1,∴B1C1⊥平面ACC1A1. 
∴B1C1⊥CD,故当CD⊥C1D时有CD⊥平面B1C1D,此时有△C1A1D∽△DAC,设AD=x,则=,
即=,解得x=3±,由于AD＞DA1. 故当AD=3+时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分
（2）在平面ACC1A1内过点C1作C1E⊥CD,交CD的延长线于点E,连接EB1,如图. 
由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1,故由三垂线定理可知,B1E⊥C D. 
故∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角. 
当AD=2时,DC=4,=CC1·AC=6,∴DC·C1E=6,
解得C1E=3,故tan∠B1EC1==2,
即二面角B1-DC-C1的正切值为2. …………………12分
解法二:（向量法）（1）取C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直线坐标系. 
同解法一可求得AC=2. 设AD=x,则点C（0,0,0）,A（2,0,0）,B1（0,6,6）,C1（0,0,6）,D（2,0,x）. 
∴=（0,6,0）,=（-2,0,6-x）,=（2,0,x）. 
由解得x=3±,由于AD＞DA1. 
故当AD=3+时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分
（2）若AD=2,则点D（2,0,2）,=（2,0,2）,=（0,6,6）,设平面B1CD的法向量为=（x,y,z）. 
由得令z=-1,得=（,1,-1）,又平面C1DC的法向量为=（0,1,0）. 
设二面角B1-DC-C1的大小为θ,则cosθ===,
∴sinθ=,∴tanθ==2. 即二面角B1-DC-C1的正切值为2. ………………12分
20. 解:（1）设甲小组做了三次实验,至少两次试验成功为事件A,则
PA. =（）2×（1-）+（）3=…………………………5分
（2）由题意的取值为0,1,2,3,4. 
P（ξ=0）=（）0×（）2·（）0×（）2=,
P（ξ=1）=（）×（）×（）0×（）2+（）0×（）2×（）×（）=,
P（ξ=2）=（）2×（）0·（）0×（）2+（）0×（）2·（）2×（）0+（）×（）·（）×（）=，
P（ξ=3）=（）2×（）0·（）×（）+（）×（）1·（）2×（）0=，
P（ξ=4）=（）2×（）0·（）2×（）0=…………………………9分
故的分布列为

	0	1	2	3	4
P

∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=……………………12分
21. 解析:（1）由题意得,=,又a+c=3,解得a=2,c=1,∴b2=3,
故所求椭圆的标准方程为. ……………………4分
（2）·是为定值3. 证明如下:……………………………6分
显然,当直线l垂直于x轴时,不合题意,当直线l不垂直于x轴时,由（1）得F2（1,0）,
设直线l的方程为x=my+1（m≠0）,则P（0,-）. 
将直线x=my+1代入整理得（3m2+4）y2+6my-9=0. 设C（x1,y1）,D（x2,y2）,则＞0. 
由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-. …………………………………8分
直线AC的方程为y-=x,直线BD的方程为y+=x,联立消去x得
=,∴（）2===
===（）2. ………………10分
∵-＜y1,y2＜,∴与异号,x1x2=m2y1y2+m（y1+y2）+1=m2（-）+m（-）+1
=,∴与异号,∴与同号,∴=
解得y=-3m,因此Q点的坐标为（xQ,-3m）,又P（0,-）,
故·=（0,-）·（xQ,-3m）=3（定值）. ………………………………14分