2015黄冈3月调研理科数学试题及答案(3)

（2）法二：设直线l的方程为y=k（x-1）,P（0，-k）,代入整理得
（3+4k2）x2－8k2x+4k2－12=0,x1+x2=,x1x2=,……①………８分
直线AC的方程为y-=x,直线BD的方程为y+=x,联立消去x得
==,………………………………１０分
由合分比定理得
，将①代入化简得y=－
故·=（0,-ｋ）·（xQ,－）=3（定值）………………………………14分

22. 解析:（1）∵f（x）的定义域为（0,+∞）,f′（x）=--1+=-,………1分
令g（x）=x2-ax+1,其判别式=a2-4. 
①当-2≤a≤2时,≤0,f′（x）≤0,故f（x）在（0,+∞）上单调递减,不合题意. …………2分
②当a＜-2时,＞0,g（x）=0的两根都小于零,故在（0,+∞）上,f′（x）＜0,故f（x）在（0,+∞）上单调递减,不合题意. ………………………………………………………………………3分
③当a＞2时,＞0,设g（x）=0的两个根x1,x2都大于零,令x1=,
x2=,x1x2=1. 当0＜x＜x1时,f′（x）＜0,当x1＜x＜x2时,f′（x）＞0,当x＞x2时,
f′（x）＜0,故f（x）分别在（0,x1）,（x2,+∞）上单调递减,在（x1,x2）上单调递增,
综上所述,a的取值范围是（2,+∞）. ……………………………………………6分
（2）依题意及（1）知,a=x1+x2=x2+>2,∵f（x1）-f（x2）=–x1+alnx1-（–x2+alnx2）
=+（x2-x1）+a（lnx1-lnx2）,
∴k==--1+a·=-2+a·. ………8分
若k≤a-2,则-2+a·≤a-2,∴≤. 
不妨设x1＜x2,则x1-x2≤（lnx1-lnx2）. 又x1=,
∴–x2≤（-2lnx2）,∴–x2+·lnx2≤0（x2＞1）①恒成立. 
记F（x）=–x+·lnx（x＞1）,记x1′=[-],
x2′=[+]. 由（1）③知F（x）在（1,x2′）上单调递增,在（x2′,+∞）上单调递减,且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e. 又F（1）=0,F（e）=0,所以,当x∈（1,e）时,F（x）＞0;当x∈[e,+∞）时,F（x）≤0. 
故由①式可得,x2≥e,代入方程g（x2）=x22-ax2+1=0,得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e,+∞）上递增）. 又a＞2,所以a的取值集合是{a|a≥e+}. ………………………………14分

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