湖南省雅礼中学2014届高三第四次月考数学试题试卷（理）

雅礼中学2014届高三月考试卷（四）数    学（理科）
高三数学备课组组稿
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合则满足的集合个数是（   ）
2.是直线与直线平行的（   ）
3.若向量满足//，且，则（   ）
4.已知函数：，当时，下列选项正确的是  (     ) 
5. 已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是(     )
　A.平面必平行于      B.平面必与相交
　C.平面必不垂直于    D.存在△的一条中位线平行于或在内
6．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（    ）
　  3             4                    
7.平面上动点满足，，,则一定有（    ）

8. 在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（     ）
   5             4           3          2

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标
10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，
的平分线分别交、于点、.则
的度数=  
11．若存在实数使成立，求常数的取值范围          。
（二）必做题（12-16题）
12. 计算：=         。 
13．已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 
14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有          种不同的排法。（用数字作答）   
15.定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应。若，，则        ．         
16.已知函数 其中,。
  （1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围           ；
  （2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为           。
　                
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知函数，.求:
（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合；
（2）函数的单调增区间.
18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.
（1）求证：；
（2）求点的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值。
　　　　　
19.（本小题满分12分）长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。
（1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；
（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。
20. （本小题满分13分）2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为,其中=200万。
  （1）证明：；
  （2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。
21．定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。
（1）写出的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明。
22．（本题满分13分）设函数，若时，有极小值，
求实数的取值；
若数列中，，求证：数列的前项和；
设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论。

数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合则满足的集合个数是（ C  ）
2.是直线与直线平行的（ A  ）
3.若向量满足//，且，则（  D ）
4.已知函数：，当时，下列选项正确的是  (    B ) 
5. 已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是( D  )
　A.平面必平行于      B.平面必与相交
　C.平面必不垂直于    D.存在△的一条中位线平行于或在内
6．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（  C   ）
　  3             4                    
7.平面上动点满足，，,则一定有（ B   ）
8. 在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（    A  ）
   5             4           3          2
解：由题设得，∴可化为，
∴当时，取得最大值，
由解得，∴正整数的最小值为5。
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标            . （）