湖南省雅礼中学2014届高三第四次月考数学试题试卷（理）(2)

10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，
的平分线分别交、于点、.则
的度数=    
11．若存在实数使成立，求常数的取值范围          。
（二）必做题（12-16题）
12. 计算：=         。 
13．已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 
14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有          种不同的排法。（用数字作答）    1680种
15.定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应。若，，则        ．      答案     
16.已知函数 其中,。
  （1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围           ；
  （2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为   
解：由（1）得  ，
   所以
   故在上递增，在上递减。  
　  所以在上的最小值为，
　　而 ，故在上没有零点。
　 所以的零点一定在递增区间上，从而有且。
　 又，，
　当时均有，所以的最大值为-2.     
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知函数，.求:
（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合；
（2）函数的单调增区间.
（1）解:

当,即时, 取得最大值.
函数的取得最大值的自变量的集合为.    
（2） 由题意得:
即: 因此函数的单调增区间为
18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.
（1）求证：；
（2）求点的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值。
　　　　　
（1）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.
又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.                      …………………………4分
（2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
B(0,0,0),  A(0,3,0),  C(3，0，0) , 
有由，满足，
所以E(1，2，0), F(0，1，1)
   所以,
所以点的距离。           …………………………8分
（3）   。                              …………………………12分
19.（本小题满分12分）长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。
（1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；
（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。
     解：（Ⅰ）由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人；初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。   
     事件为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。
　　　（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3
　　　     所以的分布列为
20. （本小题满分13分）2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为,其中=200万。
  （1）证明：；
  （2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。
解：（1）依题                             …………………………2分
        只需证明，即证。
       上式显然成立，所以。                      …………………………5分
    （2），所以
  按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即。…………………6分
    证明如下：  当时，，显然成立。
   假设时，成立。
则当时 ，是关于的一个二次函数，
令，
其对称轴，所以
    ，即
综上所述，成立。                          …………………………13分
21．定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。
（1）写出的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明。
（3）求值：。     
解：（1）的渐近线方程都是：和。           -------------3分
   （2）双曲线是共轭双曲线。                        -------------4分