2015南通三模数学试题及答案(2)

又B₁C⊥AB，且AB，BC₁为平面ABC₁内的两条相交直线，
故B₁C⊥平面ABC₁．                                             5分
因B₁C平面BCC₁B₁，
故平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁．                                      7分
（2）如图，取AA₁的中点F，连DF，FE．
又D为A₁C₁的中点，故DF∥AC₁，EF∥AB．
因DF平面ABC₁，AC₁平面ABC₁，
故DF∥面ABC₁．                                       ………………… 10分
同理，EF∥面ABC₁．
因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
故平面DEF∥面ABC₁．……………………………………………………………… 12分
因DE平面DEF，
故DE∥面ABC₁．…………………………………………………………………… 14分


16．（本小题满分14分）
已知函数（其中A，，为常数，
且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式； 
（2）若，求的值．


解：（1）由图可知，A2，…………………………………………………………… 2分
T，故，所以，f(x) ．…………………………………… 4分
又，且，故．
于是，f(x) ．………………………………………………………… 7分
（2）由，得．………………………………………… 9分
所以，………………………… 12分
=．…………………………………… 14分


17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F₁(，0)，F₂(，0)，且经过点(，)．
（1）求椭圆的方程及离心率；
    （2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂k₃k₄． 
①求k₁k₂的值；
②求OB²+OC²的值．

解：（1）方法一
依题意，c，a²b²+3，……………………………………………………… 2分
由，解得b²1(b²，不合，舍去)，从而a²4．
故所求椭圆方程为：． 
离心率e．…………………………………………………………………… 5分
方法二
由椭圆的定义知，2a4，
即a2．…………………………………………………………………………… 2分
又因c，故b²1．下略．
（2）①设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，则D(x₁，y₁)，
于是k₁k₂．………………… 8分
②方法一
由①知，k₃k₄k₁k₂，故x₁x₂．
所以，(x₁x₂)²(4y₁y₂)²，即(x₁x₂)²，