2014江苏南京二模,盐城二模数学试题答案(6)

g′(x)＝(1＋)e^x＋(x－－2)e^x＝．
因为b＜0，所以：当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以g(x)_min＝g(1)＝(－1－b)e^－1                                  …………………………………………8分
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以(－1－b)e^－1≥1，解得b≤－1－e^－1
因此b的最大值为－1－e^－1．                        …………………………………………10分
②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，
整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．         …………………………………………12分
因为a＞0，所以＝．
设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．           …………………………………………16分
解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，
整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．       …………………………………………12分
设u(x)＝2ax³－3ax²－2bx＋b(x≥1)
u′(x)＝6ax²－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b
    当b≤0时，u′(x) ≥0
此时u(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b
因为存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立
所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜≤0            …………………………………………13分
当b＞0时，
令x₀＝＞＝＞1，得u(x₀)＝b＞0，
又u(1)＝－a－b＜0
于是u(x)＝0，在(1，x₀)上必有零点
即存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立，此时＞0 …………………………………………15分
综上有的取值范围为（－1，＋∞）．               …………………………………………16分
20．(本小题满分16分)
已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a_2n－1，a_2n，a_2n＋1成等差数列，
a_2n，a_2n＋1，a_2n＋2成等比数列．
（1）若a₂＝1，a₅＝3，求a₁的值；
（2）设a₁＜a₂，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．
解：（1）解法一：因为a₃，a₄，a₅成等差数列，设公差为d，则a₃＝3－2d，a₄＝3－d．
因为a₂，a₃，a₄成等比数列，所以a₂＝＝．   ………………3分
因为a₂＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．因为a_n＞0，所以d＝．                              
因为a₁，a₂，a₃成等差数列，所以a₁＝2a₂－