2014江苏南京二模,盐城二模数学试题答案(4)

解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x₁，0)，N(x₂，x₂)，P(x₀，y₀)．
∵MN＝2，∴(x₁－x₂)²＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x₁x₂
∴4＋2x₁x₂≥4x₁x₂，即x₁x₂≤2．      …………………4分
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
顺时针方向旋转60°后得到．
＝(x₀－x₁，y₀)，＝(x₂－x₁，x₂)．
  ∴＝，即
x₀－x₁＝(x₂－x₁)＋x₂，y₀＝－(x₂－x₁)＋x₂．
∴x₀＝2x₂＋x₁，y₀＝x₁．                     …………………………………………8分
∴AP²＝x＋y＝(2x₂＋x₁)²＋x＝x＋4x＋2x₁x₂   
＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12，                  …………………………………………12分
即AP≤2．                              
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．
由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分
设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R．          …………8分
在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，
∴R＝，                                        …………10分
∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线．
设PF与MN交于E，则FE²＝FM²－ME²＝R²－1²＝．
即FE＝，又PE＝．                             ……………………………12
∴PF＝，∴AP的最大值为PF＋R＝2．              
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
18． (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF₁交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F₂三点的圆的方程；
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．
（1）解：由题意得 解得c＝1，a²＝2，所以b²＝a²－c²＝1．
    所以椭圆的方程为＋y²＝1．                         …………………………………………2分
   （2）因为P(0，1)，F₁(－1，0)，所以PF₁的方程为x－y＋1＝0．
由 解得或所以点Q的坐标为(－，－)．  ……………………4分
解法一：因为k_PF·k_PF＝－1，所以△PQF₂为直角三角形．                ……………………6分
因为QF₂的中点为(－，－)，QF₂＝，
所以圆的方程为(x＋)²＋(y＋)²＝．                                 ……………………8分
解法二：设过P，Q，F₂三点的圆为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，
则   解得 
所以圆的方程为x²＋y²＋x＋y－＝0．                 …………………………………………8分
（3）解法一：设