2014江苏南京二模,盐城二模数学试题答案(5)

P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则＝(x₁＋1，y₁)，＝(－1－x₂，－y₂)．
因为＝λ，所以即
所以解得x₂＝．        …………………………………………12分
所以·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₂(－1－λ－λx₂)－λy＝－x₂²－(1＋λ)x₂－λ
＝－()²－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋) ．       …………………………………………14分
因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
所以·≤，即·最大值为．              …………………………………………16分
解法二：当PQ斜率不存在时，
     在＋y²＝1中，令x＝－1得y＝±．
     所以，此时 …………………………2
     当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k(x＋1)，
     由得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0，
    韦达定理    ………………………………………4
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂) ，
    的最大值为，此时       ………………………………8
19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝e^x，a，bR，且a＞0．
（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
（2）设g(x)＝a(x－1)e^x－f(x)．
① 当a＝1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．
解：（1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)e^x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以f ′(x)＝e^x．                        …………………………………………2分
令f ′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝，列表

x	(－∞，－1)	－1	(－1，0)	(0，)		(，＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e^－1，f (x)的极小值是f ()＝4．……………………………………4分
（2）① 因为g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x，
当a＝1时，g (x)＝(x－－2)e^x．
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．         …………………………………………8分
记h(x)＝x²－2x－（x＞0），则h′(x)＝．
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以h(x)_min＝h(1)＝－1－e^－1． 
所以b的最大值为－1－e^－1．                         …………………………………………10分
解法二：因为g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x，
当a＝1时，g (x)＝(x－－2)e^x．
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以g(2)＝－e²＞0，因此b＜0．                    …………………………………………6分