东三省四市等值诊断2013长春四调数学试题答案【理科】(2)

【试题解析】A 由偶函数定义可知，函数中，的定义域关于原点 对称且，故选A.
【命题意图】本小题通过等比数列的求和考查学生的运算求解能力，要求学生全面的地把握本题，通过设置漏洞，以让学生理解等比数列求和的易错点，本小题是一道侧重考查数学基本公式应用的基本题.
【试题解析】D 由题可知，则，得 ，因此，故选D.
【命题意图】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题.
【试题解析】B 由程序框图可知：，，，，， ，，，而后输出值为13，故选B.
【命题意图】本小题通过二项展开式考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，本小题是一道基本题.
【试题解析】D 由题可知，展开式中的常数项为，故选D.
【命题意图】本小题通过三角函数图像考查学生的运算求解能力与数形结合思想，本小题是一道基本题.
【试题解析】D   由三角函数的性质可知：的单调区间 ，则，当时， ，故选D.
【命题意图】本小题通过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力，是一道中档难度的试题.
【试题解析】B 由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，
则，故选B.
【命题意图】本小题通过平面向量考查学生的运算求解能力，同时也考查学生的数形结合思想，是一道中档难度的试题.
【试题解析】C 设与同方向的单位向量分别为，依题意有 ，又，，则，所以.  故选C.
【命题意图】本小题通过排列组合考查学生的逻辑推理能力，另外本小题还考查学生建立数学模型解决实际数学问题的思想，是一道中档难度的试题.
【试题解析】C   ①将3,4,5排在中间和两侧，再用1,2插两缝共种；
  ②将2,4,5排列，则结果必为21435；
  将2,5,4排列，则结果必为21534；
  将4,5,2排列，则结果必为43512；
  将5,4,2排列，则结果必为53412. 故选C.
【命题意图】本小题通过双曲线考查学生的推理论证能力与运算求解能力，进而考查学生化归与转化的数学思想，是一道中档难度的试题.
【试题解析】A 由题可知，双曲线渐近线的倾角为或，则或 . 则或，故选A.
【命题意图】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力，着重考查几何体中点线面的关系问题，是一道较难的试题.
【试题解析】B 由题意可知，为半径为2的球的 球心，为半径为3的球的球心，则， ，取的中点，的中点，则 ，设小球半径为，则，
，解得.
故选B.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
    13. 2        14.       15. ②④⑤       16.
简答与提示:
【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力，是一道基本题.
【试题解析】由题意可知，取最大值6时，直线 过点，则点必在线性规划区域内，且  可以使一条斜率为的直线经过该点时取最大值，因此点 为区域最右侧的点，故直线必经过点，
因此.
【命题意图】本小题通过积分问题考查学生的运算求解能力，着重考查积分在曲边图形面积求取上的应用，是一道中档难度试题.
【试题解析】由可得，，
即切线方程为，
即为，将改写成，
将改写成
因此.
【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.
【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.
【命题意图】本小题以导数与函数图像的基本关系为载体，考查数形结合的数学思想，是一道较难综合试题.
【试题解析】利用换元法，将换元成，则原式化为，
当时，，且，又由，
可知当时，；当时，.
故的解集为，即，因此.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要通过递推数列通项公式的求取，考查对考生的运算求解能力、逻辑推理能力，对考生化归与转化的数学思想提出较高要求. 本题属于基础试题，难度相对较低.
【试题解析】解：(1) 由，可知，
由数列的递推可知：

因此， 则.      (6分)
(2) 由可得，
若数列为递增数列，则，
当时，取最小值为，则，即.
                    (12分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题通过统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容，考查学生对数据处理的能力，对考生的运算求解能力、推理论证能力都有较高要求. 本题属于统计概率部分综合题，对考生的统计学的知识考查比较全面，是一道的统计学知识应用的基础试题.
【试题解析】解：(1) 现采用分层抽样的方法，从样本中取出的10株玉米中圆粒的有6株，皱粒的有4株，所以从中再次选出3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为.            (6分)
(2) 根据已知列联表：
高茎 矮茎 合计
圆粒 11 19 30
皱粒 13 7 20
合计 24 26 50
所以.
又，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关.              (12分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，对学生的数形结合思想的考查也有涉及，本题是一道立体几何部分的综合题，属于中档难度试题.
【试题解析】(1) 证明：且，
则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.
                     (6分)
(2) 以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴，建立如图所示坐标系.
则，，，
，，
由，，
可知
由，，
可知
则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.        (12分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识，提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视，本题主要考查考生的推理论证能力，运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.
【试题解析】(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，
即取最大值，且.
由得
又为定值，，
综上得；
又由，可得，即，
经计算得，，，
故椭圆方程为.            (5分)
(2) ①当直线与中有一条直线垂直于轴时，.
②当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由 消去可得，代入弦长公式得： ，