2015淄博三模理科数学试题及答案(3)

Q(x₂，y₂)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k²)x²＋(8k²－4k)x＋8k²－8k－4＝0，
－2，x₁是该方程的两根，则－2x₁＝，x₁＝．
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x₂＝．………………………………………………………6分
因y₁＋1＝k(x₁＋2)，y₂＋1＝－k(x₂＋2)，
故k_PQ＝＝＝＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………………9分
（Ⅲ）（方法一）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．…………………………11分
若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，
与椭圆C方程联立，得x²＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．
故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………13分
（方法二）由（2）直线PQ的斜率为1，设其方程为
假设为直角，则由得………………………………11分
所以直线PQ的方程为
因为点M（-2，-1）在直线上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意．
所以不可能为直角．………………………………13分
（21）（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）证明：当，时，； 
（Ⅱ）若，讨论在上的单调性；
（Ⅲ）设，比较与的大小，并加以证明．
解：（Ⅰ）当时，，……1分
所以时，，在上单调递增， 
又， ；
结论得证．………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题设，．…………………5分
① 当，即时，
则在上是增函数．…………………7分

1. ② 当，即时，

有时，在上是减函数；
时，在上是增函数．……9分
综上可知，当时， 在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．……10分
（Ⅲ），证明如下：
方法一：上述不等式等价于＋＋…＋<ln(n＋1)，
由（Ⅰ），可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N_＋，则<ln.………………………………11分
下面用数学归纳法证明．
① 当n＝1时，<ln 2，结论成立．………………………………12分
②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋<ln(k＋1)．
那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋<ln(k＋1)＋<ln(k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，
即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N_＋成立．………………………………………………………14分
方法二：上述不等式等价于＋＋…＋<ln(n＋1)，
由（Ⅰ），可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N_＋，则ln>.………………………………11分
故有ln 2－ln 1>，
ln 3－ln 2>，
……
ln(n＋1)－ln n>，
上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，
结论得证．………………………………………………………14分
方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，………………………………12分
错误！未找到引用源。来源学高考
∴＋＋…＋>dx＝
dx＝n－ln(n＋1)，
结论得证．………………………………………………………14分

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