2016年资阳一诊文科数学试题及答案(2)

18．由题知f(x)=ab=
＝
＝
＝2sin(2x－)． 4分
(Ⅰ) 由，得，其中，
所以单调递增区间为其中． 6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)= 2sin(2x－)．
列表得
x 0     π
  0  π 
  0 2 0 －2
8分
通过描点、连线得

12分
19．（I）由，可得S1＝2a1－1，即a1＝1， 1分
又，
相减得 即  2分
所以，
故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到an＋1＝，所以 7分
于是bn＝＝n＋n()＝n×， 8分
Tn＝，
2Tn=，
相减整理得－Tn＝，
所以Tn＝． 12分
20．设销量y与零售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数关系为，
由解得于是y=15－0.1x，
由得a=10，于是． 4分
（Ⅰ）当零售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），此时的批发价为30＋=32（元/件），他获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）． 6分
（Ⅱ）设每一件的利润为d，
则
， 8分
而由可得0<x<150，
于是，
当且仅当，即x=140时取“=”． 12分
21．由题h(x)＝lnx－ax²＋(a－1)x，且x＞0，
则，
（Ⅰ）当a＞0时，＜0，由得0<x<1，得x>1，
所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 4分
（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0，－a)上恒成立，即h(x)= f(x)－g(x)＜0在x∈(0，－a)上恒成立．
由得，x2=1，
（1）当即a=－1时，在x∈(0，1)上恒成立，则h(x)在(0，1)上为增函数，h(x)＜h(1)=＜0，所以f(x)＜g(x)恒成立． 6分
（2）当，即－1<a<0时，
x (0，1) 1 (1，)  (, ＋)
＋ 0 －  ＋
h(x)  极大值  极小值
因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=a－1＜0． 8分
（3）当，即a<－1时，
x (0，)  (，1) 1 (1, ＋)
＋ 0 －  ＋
h(x)  极大值  极小值
因为－a>1，
而h()=ln()－a×()²(a－1)= ln()－1＋= ln()＋－1＜0，
于是只需考虑h(－a)＜0即可，
即h(－a)= ln(－a)－a(－a)²＋(a－1)(－a)= ln(－a)－a³－a²＋a＜0，
下面用特殊整数检验，
若a=－2，则h(2)=ln2＋4－6=ln2－2＜0；
若a=－3，则h(3)=ln3＋－12= ln3＋＞0；
而当a≤－3时，ln(－a)＞0，现说明当a≤－3时，－a³－a²＋a＞0．
令u(x)＝－x³－x²＋x，则＝－x²－2x＋1，它在(－∞，－3]为增函数且＜0，
所以u(x)在(－∞，－3]为减函数，而u(－3)＞0，
则当a≤－3时，－a³－a²＋a＞0恒成立．
所以，使f(x)＜g(x)在x∈(0，－a)上恒成立的最小整数为－2． 12分
22．选修4－1：几何证明选讲
（Ⅰ）因为，
所以即，
于是，
所以△QCA∽△QAB，
所以∠QAB=QCA，
根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，证毕． 5分
（Ⅱ）因为QA为⊙O的切线，
所以∠PAC=∠ABC，
而AC恰好为∠BAP的平分线，
所以∠BAC=∠ABC，
于是AC=BC=15，
所以，①
又由△QCA∽△QAB得
，②
联合①②消掉QC，得QA=18． 10分
23．选修4—4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）由题，消去直线参数方程中的参数t得普通方程为．
又由得，
由得曲线的直角坐标方程为． 5分
（Ⅱ）曲线：可化为，
设与直线l平行的直线为，
当直线l与曲线C相切时，有，即，
于是当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．
（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值） 10分
24．选修4—5：不等式选讲
（1）当时，不等式为，
当x≤－2时，原不等式可化为－x－2－2x＋1≥16，解之得x≤；
当－2＜x≤时，原不等式可化为x＋2－2x＋1≥16，解之得x≤－13，不满足，舍去；
当x＞时，原不等式可化为x＋2＋2x－1≥16，解之得x≥5；
不等式的解集为． 5分
（2）即，解得，而解集是，
所以解得，
从而，
于是只需证明，
即证，
因为，
所以，证毕． 10分

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