2016年资阳一诊理科数学试题及答案(2)

(Ⅰ) 由，得，其中，
故单调递增区间为，其中． 6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)＝sin(2x－)，则g(x)＝2sin(2x＋)． 8分
列表得
x 0     π
   π  2π
  2 0 －2 0
经过描点、连线得

12分
19．（I）由，可得S1＝2a1－1，即a1＝1， 1分
又因为，
相减得 即 2分
所以，
故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到an＋1＝，则 5分
于是bn＝=n()＝n×－n，令un＝n×， 6分
则 wn＝，
　2wn＝，
相减，整理得－wn＝，
于是wn＝， 10分
又数列{n}的前n项和为，
所以Tn=． 12分
20．设销量y与销售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数关系为，
由解得
于是y=15－0.1x， 2分
由，得a=10，于是． 4分
（Ⅰ）当销售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），
此时的批发价为30＋=32（元/件），获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）. 6分
（Ⅱ）设每一件的利润为d，
则
． 8分
而由可得0<x<150，
于是，
当且仅当，即x=140时取“=”．
所以当每件定价为140元时，每件的利润最大为100元． 12分
21．由题意知h(x)＝lnx－ax²＋(a－1)x＋a，且x＞0，
则， 2分
（Ⅰ）当a＞0时，＜0，由，得0<x<1；由，得x>1，
所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 4分
（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立，即h(x)= f(x)－g(x)＜0在x∈(0,－a)上恒成立．
由，得，x2=1，
(1)当，即a=－1时，在x∈(0，1)上恒成立，则h(x)在(0，1)上为增函数，h(x)＜h(1)=＜0，所以f(x)＜g(x)恒成立． 6分
(2)当，即－1<a<0时，
x (0，1) 1 (1，)  (，＋∞)
＋ 0 －  ＋
h(x)  极大值  极小值
因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=a－1＜0． 8分
(3)当，即a<－1时，
x (0，)  (，1) 1 (1，＋∞)
＋ 0 －  ＋
h(x)  极大值  极小值
因为－a>1，
又h()=ln()－a×()²(a－1) ＋a= ln()－1＋＋a = ln()＋－1＜0， 10分
于是只需考虑h(－a)＜0即可，
即考虑h(－a)= ln(－a)－a(－a)²＋(a－1)(－a)＋a= ln(－a)－a³－a²＋2a＜0，
下面用特殊整数检验，
若a=－2，则h(2)=ln2＋4－8=ln2－4＜0；
若a=－3，则h(3)=ln3＋－15= ln3－=＜0；
若a=－4，则h(4)=ln4＋32－24= ln4＋8＞0，
而当a≤－4时，ln(－a)＞0，现说明当a≤－4时，－a³－a²＋2a＞0，
令u(x)＝－x³－x²＋2x，则＝－x²－2x＋2，它在(－∞，－4]为增函数且＜0，
所以u(x)在(－∞，－4]为减函数，而u(－4)＞0，
则当a≤－4时，－a³－a²＋2a＞0恒成立．
所以，使f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立的最小整数为－3． 12分
22．选修4－1：几何证明选讲
（Ⅰ）因为，
所以即，
于是，
所以△QCA∽△QAB，
所以∠QAB=QCA，
根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，证毕． 5分
（Ⅱ）因为QA为⊙O的切线，
所以∠PAC=∠ABC，
而AC恰好为∠BAP的平分线，
所以∠BAC=∠ABC，
于是AC=BC=15，
所以，    ①
又由△QCA∽△QAB得
，     ②
联合①，②消掉QC，得QA=18． 10分
23．选修4—4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）由题，消去直线的参数方程中的参数t得直线l的普通方程为．
又由得，
由得曲线的直角坐标方程为． 5分
（Ⅱ）曲线：可化为，
设与直线l平行的直线为，
当直线l与曲线C相切时，有，即，
于是当时，P为切点时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．
（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值） 10分
24．选修4—5：不等式选讲
（1）当时，不等式为，
当x≤－2时，原不等式可化为－x－2－2x＋1≥16，解之得x≤；
当－2＜x≤时，原不等式可化为x＋2－2x＋1≥16，解之得x≤－13，不满足，舍去；
当x＞时，原不等式可化为x＋2＋2x－1≥16，解之得x≥5；
不等式的解集为． 5分
（2）即，解得，而解集是，
所以解得，
从而
于是只需证明，
即证，
因为，
所以，证毕． 10分

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