2013年泉州高中毕业班质量检测数学试题答案【理科】(2)

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，试求的最小值．

泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
   1．D   2．D   3．B  4．C   5．A   6．C   7．B  8．D   9 C． 10．B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.
11、；    12、③；   13、；    14、；    15、②③④.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分13分.
解：（Ⅰ）  ……2分
，         ……4分
因为函数的最小正周期为，且，
所以.                      ……6分
（Ⅱ）因为，.
列对应值表：
0    
  0   
  0 1 0 -1
……8分
描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数在区间上的图象如图所示. ……11分
根据图象可得单调递减区间为.   . ……13分

17．本小题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．
解：（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，……1分
用频率估计概率可知：
                              .   ……2分
所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5. ……3分
       （Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为，
则.   …..5分
             记事件B=“小王增加订购量”，
则有，
所以小王增加订购量的概率为.   ……8分
（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为元，
则的所有可能取值为80，95，110，125，140. …..9分
             其分布列为
利润 80 95 110 125 140
概率 0.1 0.1 0.1 0.2 0.5
                ……11分
则
             所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元.   …..13分
18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．
解：（Ⅰ）由条件可知，，，……3分
所以椭圆的标准方程为.    ……4分
（Ⅱ），，  ……6分
则直线：.  ……7分
联立与
有， ……9分
则
，……10分
，，
则当时，，此时直线与椭圆相交；   ……11分
当时，，此时直线与椭圆相切；  ……12分
当时，，此时直线与椭圆相离.  ……13分

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.
解：（Ⅰ）条件②，可做为的充分条件.    ……1分
证明如下：
平面，，
平面，  ……2分
∵平面，.
若条件②成立，即，
∵，
平面，   ……3分
又平面，．  …..4分
（Ⅱ）由已知，得是菱形，.
设，为的中点，
则平面，
∴、、交于同一点且两两垂直.  ……5分
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．6分
设，，其中，
则，，，，，
，，  ……7分
设是平面的一个法向量，
由得令，则，，
，    ……9分
又是平面的一个法向量，  ……10分
，
……11分
令，则，为锐角，
，则，，
因为函数在上单调递减，，
所以，……12分
又，  ，
即平面与平面所成角的取值范围为． …13分

20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.
解：（Ⅰ），. ……1分
函数在点处的切线方程为，
  即， 解得，  ……2分
.    ……3分
（Ⅱ）由、，得，
∴“当时，直线的斜率恒小于”当时，恒成立对恒成立.  ……4分
令，.
则，  ……5分
            （ⅰ）当时，由，知恒成立，
∴在单调递增，
∴，不满足题意的要求.  ……6分
（ⅱ）当时，，，
，
∴当  ，；当，.
即在单调递增；在单调递减.
所以存在使得，不满足题意要求. ……7分
（ⅲ）当时，，对于，恒成立，
∴在单调递减，恒有，满足题意要求.…8分