2015广州一模理科数学试题答案【word版】(3)

解法2：设，连接，
         ∵，
         ∴△为等边三角形.
         ∴，，，.………………………5分
         在R t△中，，
         在△中，，
         ∴.                                  …………………………6分
         ∵，，平面，平面，
         ∴平面.                           …………………………7分
         以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
         建立空间直角坐标系，
         则，，，.…………8分
         ∴，.
         设平面的法向量为，
         由，，得 ……9分
         令，得，.
         ∴平面的一个法向量为.     …………………………10分
         由（1）知平面的一个法向量为， ……………………11分
         设二面角的平面角为，
         则.………………………12分
         ∴，.………………………13分
         ∴二面角的正切值为.           …………………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、数列的前项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）
∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列．……………７分
解法3：由已知及（1）得，，
      猜想.                                  …………………………2分
     下面用数学归纳法证明.
① 当，时，由已知，，猜想成立. ………3分
② 假设时，猜想成立，即，    …………………………4分
   由已知，得，        
   故当时，猜想也成立.
   由①②知，猜想成立，即.                …………………………9分
（3）解：由(2)知, .
         假设存在正整数, 使, , 成等比数列,
         则.                             …………………………10分
         即.                 …………………………11分
         解得, 与为正整数矛盾. ……………………13分
∴ 不存在正整数, 使, , 成等比数列. …………………………14分
20.（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1： ∵ 双曲线的顶点为,,  …………1分
∴ 椭圆两焦点分别为,.          
设椭圆方程为，
∵ 椭圆过点，
∴ ，得.                     ………………………2分
∴ .                               ………………………3分
∴ 椭圆的方程为 .                      ………………………4分
解法2: ∵ 双曲线的顶点为,, ……………………1分
∴ 椭圆两焦点分别为,. 
设椭圆方程为，
∵ 椭圆过点，
∴ .     ①                               ………………………2分
. ∵ ,     ②                               ………………………3分
由①②解得, .
∴ 椭圆的方程为 .                      ………………………4分
（2）解法1：设点，点，
由及椭圆关于原点对称可得，
∴，，
，.
由 , 得 ， ……………………5分
即 .      ①
同理, 由, 得 .  ②  ……………6分
    ①②得 .   ③         ………………………7分