2015广州一模理科数学试题答案【word版】(4)

由于点在椭圆上, 则，得,
代入③式得 .  
当时，有，                       
当，则点或,此时点对应的坐标分别为或
 ，其坐标也满足方程.            ………………………8分
当点与点重合时，即点，由②得 ，
解方程组 得点的坐标为或.
同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,
.                                         ………………………9分
解法2：设点，点，
由及椭圆关于原点对称可得，
∵，，   ∴，.
     ∴，①                  ……………………5分
       . ②                   ……………………6分               
①② 得 .  (*)                     ………………………7分
∵ 点在椭圆上,   ∴ ，得,
代入(*)式得，即,    化简得 .                                 
 若点或, 此时点对应的坐标分别为或
 ，其坐标也满足方程.            ………………………8分
当点与点重合时，即点，由②得 ，
解方程组 得点的坐标为或.
同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,
.                                         ………………………9分
(3) 解法１：点到直线的距离为.
△的面积为………………………10分
                     .    ………………………11分
    而（当且仅当时等号成立）
∴. ……12分
当且仅当时, 等号成立.
由解得或           ………………………13分
∴△的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.…14分
解法２：由于，
故当点到直线的距离最大时，△的面积最大．………………………1０分
设与直线平行的直线为，
由消去，得， 
由，解得．　　　………………………1１分
若，则，；若，则，．…1２分
故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为
．　　　　　　　　　　………………………1４分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）
（1）解：∵，其定义域为,
      ∴.             …………………………1分
   ① 当时，，当时，，
      则在区间上单调递减，此时，，不符合题意. …2分
   ② 当时，令，得，，
      当时，，则在区间上单调递减，
      此时，，不符合题意.               …………………………3分
   ③ 当时，，当时，，
      则在区间上单调递增，此时，，符合题意. ……4分
   ④ 当时，令，得，，当时，，
      则在区间上单调递增，此时，，符合题意. ……5分
      综上所述，的取值范围为.                   …………………………6分
（2）证明：由（1）可知，当时，对都成立，
           即对都成立.           …………………………7分

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