2015揭阳一模理科数学试题及答案【word版】(2)

则（ =1,2，…，10）-------------------------------------------------8分
依题意可知，的所有可能取值为0,1,2且
P(=0)= P(A₅)+P(A₆)=, ----------------------------------------------------9分
P(=1)= P(A₁)+P(A₄)+P(A₇)+P(A₁₀)=，---------------------------------------10分
P(=2)= P(A₂)+P(A₃) +P(A₈)+P(A₉) =，--------------------------------------11分
所以的数学期望．-----------------------------------12分
18.（1）证明：AB⊥平面BCD，平面  ，-------------------1分
又， ， 平面，------------------------------2分
又E、F分别是AC、AD的中点，∴---------------------------------------3分
∴EF⊥平面ABC
又平面BEF，平面BEF⊥平面ABC-----------4分
（2）解法1：由（1）知EFCD
∴--------------------------------5分
   ∴---------------------6分
-------------------8分
[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----5分
∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------6分
由（1）知EF⊥平面ABC，
∴
.-----------------8分]
（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建
立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分
则,
∴,,---------------10分
设平面BEF的一个法向量为，由得
令得，∴，------------------12分
∵是平面BCD的法向量，
设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为，
则, 
∴所求二面角的余弦值为．---------------------------------------------------14分


[解法2：过点B作//CD，则平面
 EF//CD，∴  ∴平面,
 ∴为平面BEF与平面BCD的交线，---------------------------------------------10分
∵平面，平面，∴，∴
又，∴
∴为平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的平面角，------------------------12分
在中，
∵BE=CE，
∴，
即所求二面角的余弦值为．----------------14分]
19.解：（1）由和可得 --------------------2分
（2）解法1：当时，由
得，---------------------------------4分
---------------------6分
∴数列是首项，公差为6的等差数列，
∴-------------------------------------------------------7分
∴-----------------------------------------------------8分
[解法2：当时，由------------------4分
可得  ,---------------------------------6分
∴数列是首项,公差为3的等差数列，
，即.--------------------------------------8分]
（3）证明：------------------10分
--------------------11分
∴-------------13分
命题得证．----------------------------------------14分
20.解：(1)设,由得,-------------------------------------1分
又，∴, , .--------------------3分
由得
即，
∴曲线的方程式为.----------------------------------------------------5分
（2）解法1：由曲线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，
则点必在轴上，设，--------------------------------------------------6分
又设点，由直线与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，
由得，∴，---------------------------------------7分
∴直线的方程为，--------------------------------------------8分
令得，∴点的坐标为，-----------------------------9分
---------------------------------------10分
∵点在以为直径的圆上，
∴---------------12分
要使方程对恒成立，必须有解得，-------------------------13分
∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为．---------14分
[解法2：设点，由与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，
由得，∴，---------------------------------------6分
∴直线的方程为，--------------------------------------------7分
令得，∴点的坐标为，-------------------------8分
∴以为直径的圆方程为：--------①-----10分
分别令和，由点在曲线上得，
将的值分别代入①得：-------------------------------②
--------------------------------------------------------③
②③联立解得或，-----------------------------------------------12分
∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，
将的坐标代入①式得，①式，
左边==右边，
将的坐标代入①式得，①式，
左边=不恒等于0，------------------------------------13分
∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为．--14分]
21.解：（1）∵，
∴，---------------------------------------------------------------1分
①若，则对任意的都有，即函数在上单调递减，
函数在上无极值；----------------------------------------------------2分
②若，由得，当时，当时，，即函数在单调递减，在单调递增，