2014江苏南京二模,盐城二模数学试题答案(3)

θ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分
AP²＝AD²＋PD²＝(sinθ＋2cosθ)²＋(2sinθ)²
＝sin²θ＋sinθcosθ＋4cos²θ＋4sin²θ                    …………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)．                         …………………………12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．
 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°                          …………………………14分
解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN²＝AM²＋AN²－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝4．                  …………………………………………2分
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝．   …………………………………………6分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP²＝AM²＋PM²－2 AM·PM·cos∠AMP，
即AP²＝x²＋4－2×2×x×＝x²＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分
因为x²＋y²－xy＝4，4＋xy＝x²＋y²≥2xy，即xy≤4．
所以AP²≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．         
    答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分              
解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x₁，0)，N(x₂，x₂)，P(x₀，y₀)．∵MN＝2，
∴(x₁－x₂)²＋3x＝4．                                …………………………………………2分
MN的中点K(，x₂)．                        
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
∴PK²＝(x₀－)²＋(y₀－x₂)²＝3，
  k_MN·k_PK＝－1，即·＝－1，           …………………………………………6分
 ∴y₀－x₂＝(x₀－)，∴(y₀－x₂)²＝(x₀－)²
∴(1＋)(x₀－)²＝3，即(x₀－)²＝3，∴(x₀－)²＝x．
∵x₀－＞0   ∴x₀－＝x₂，
∴x₀＝x₁＋2x₂，∴y₀＝x₁．                    …………………………………………8分
∴AP²＝x＋y＝(2x₂＋x₁)²＋x＝x＋4x＋2x₁x₂
＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12，                    …………………………………………12分
即AP≤2．                             
   答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分