2015青岛一模理科数学试题及答案

青岛市高三统一质量检测数学（理科）试题【word版完整试题最后一页下载】


第Ⅰ卷（选择题  共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设为虚数单位，复数等于 
A． B．   C．     D．
2．设全集，集合，则 
A．       B．      C．      D．
3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打
出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所
剩数据的平均数和方差分别为
A．和　　  B．和       C．和 　　  D．和
4．“”是“数列为等差数列”的 
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件         D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则
正视图中的的值是
A．      B．      C．       D．
6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为
A．     B．      C．    D．
7．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，则      B．若，则
C．若，则      D．若，则
8．函数(为自然对数的底数)的图象可能是
9．对于函数，下列说法正确的是
A．函数图象关于点对称            
B．函数图象关于直线对称
C．将它的图象向左平移 个单位，得到的图象
D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象
10．已知点是的外心，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，是坐标原点，则的最大值为

第Ⅱ卷（非选择题  共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数，若，
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是     ;
13．设，则二项式展开
式中的第项的系数为         ;
14．若目标函数在约束条件下当且仅当在点处取得最小值，则实数的取值范围是          ;
15．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.
则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合:
① ;    ② ;
③ ;    ④ .
其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是                        .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
设的内角所对的边分别为，已知，.
（Ⅰ）求角；              
（Ⅱ）若，求的面积.

17．（本小题满分12分）
某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：

学院	机械工程学院	海洋学院	医学院	经济学院
人数

（Ⅰ）从这名学生中随机选出名学生发言，求这名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这名学生中随机选出名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面 ，底面是直角梯形，，， ，，为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求平面和平面所成角（锐角）的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和.

20．（本小题满分13分）
已知椭圆与直线相交于、两不同点，且直线与圆相切于点(为坐标原点).
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，求实数的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数，，.
（Ⅰ）若函数的图象在原点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（Ⅱ）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若对于，总存在，且满，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围.

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数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．
 D A B C D            A C A B C       
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.       12.        13.         14．      15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）从名学生随机选出名的方法数为，选出人中任意两个均不属于同一学院的方法数为  ……………………4分
所以   …………………6分
（Ⅱ）可能的取值为
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结交于，
因为为四棱柱，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为中点，所以为的中位线，
从而    ……………………………………4分
又因为平面，平面，
所以平面．   …………………………5分   

（Ⅱ）因为底面，面，面，
所以又，所以两两垂直. ……………6分
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，.