广西桂林市,崇左市,防城港市2013高考一模数学试题答案【理】(3)

　19. （本小题满分12分）
　
　　（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OA，OB，BA，则
　　，    2分
　　.     4分
　　∴AC⊥面BOA.       5分
　　∵BA面BOA，∴AC⊥BA.    6分
　（Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC，
　　∴AO⊥面ABC.       7分
　　过点O作OH⊥AB于H，连结AH，则AH⊥AB，
　　∴∠AHO为所求二面角的平面角.     9分
　　在等边△ABC中，OH=，AH=.    ∴cos∠AHO==.  11分
　　∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos.     12分
　　解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，             7分
　　
　　则A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），
　　C（0，4，2），设n=（x，y，z）是面AABB的一个法向量，则n⊥，n⊥，
　　∵=（0，2，2）， =（2，2，0），     8分
　　∴  取x=1，得n=（1，－，）.   9分
　　易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1），     10分
　　所以cos<m，n>==.     11分
　　∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos.     12分
  20. （本小题满分12分）
　　解：（Ⅰ）若a=1 ，则f（x）=x|x－1|－lnx.
　　当x∈[1，e]时，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0，
　　所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）=f（e）=e－e－1.    4分
　　（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>.  *
    （i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，
　　所以a∈R；              5分
　　（ii）当x=1时，|1－a|≥0，=0，所以a1；      6分
　　（iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于a<x－恒成立或a>x+恒成立.
　　令h（x）=x－，则h′（x）=.
　　因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1.
　　因为a<x－恒成立等价于a<（h(x)），所以a≤1.
　　令g（x）=x+，则g′（x）=.再令e（x）=x+1－lnx，则e′（x）=2x－>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上无最大值.    11分
　　综上所述，满足条件的a的取值范围是（－，1）.     12分
  21. （本小题满分12分）

　　　解：（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1，
　　+=1，解得y=，从而得到A.    1分
　　直线AF的方程为y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.  2分
　　由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=， 3分
　　将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b.
　　∴e==.即椭圆C的离心率为.     4分
　　解法二：点A的坐标为.        1分