广西桂林市,崇左市,防城港市2013高考一模数学试题答案【理】(4)

　　过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA，
　　故=.           2分
　　由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
　　所以=.         3分
　　解得|FA|=，而|FA|=，得=.     
　　∴e==.即椭圆C的离心率为.     4分
　　（Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分
　　当t∈（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组
　　的解.          6分
　　（1）当y0时，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，
　　即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0.      7分
　　于是x+x=，xx=，
　　yy=·=
　　     ==.
　　若QQ⊥QQ，则xx+ yy=+==0.
　　所以，3t－2b（x+y）=0.        8分
　　在区间（0，b）内，此方程的解为t=b.    9分
　　（2）当y=0时，必有x0，
　　同理求得在区间（0，b）内的解为t=b.    10分
　　另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQ⊥QQ.  11分
　　综上所述，t=b∈（0，b）使得所述命题成立.    12分
　22. （本小题满分12分）
　　解：（Ⅰ）因为a=2a+aa，即（a+a）（2a－a）=0.   1分
　　又a>0，所以有2a－a=0，即2a=a
　　所以数列是公比为2的等比数列，    3分
　　由得，解得。
　　从而，数列{a}的通项公式为a=2（n∈N），即：b=（n∈N）. 5分
　　（Ⅱ）构造函数f（x）=－（b－x）（x>0），
　　则f′（x）=－+=，
　　当0<x<b时，f′（x）>0，x>b时，f′（x）<0，
　　所以f（x）的最大值是f（b）=，所以f（x）≤.   7分
　　即≥－（b－x）（x>0，i=1，2，3…n），取“=”的条件是x=b（i=1，2，3…n），
　　所以++…+>－（b+b+…+b－nx）， 9分
　　令x=，则++…+>，
　　所以++…+>，  11分
　　即++…+>（n≥2）.    12分

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