福建省福建师大附中2013三模数学试题答案【理科】

福建省福建师大附中2013三模数学试题答案【理科】

　　　一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（    ）
A．第一象限   B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
2．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）
A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件
C．充要条件                           D．既不充分也不必要条件
3．已知集合， ,且,则（    ）
A.  4        B. 5           C. 6          D. 7

4．设z=x+y，其中x，y满足当z的最大值为6时，的值为（    ） 
  A.3      B.4         C.5         D.6
5．阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入，则输出的值为（    ）
A.  12    B.  6    C.  3     D.  0
6．的三个内角对应的边分别，且成等差数列，则角等于（      ）
A .     B.    
C.       D. 
7．设，则二项式展开式中的项的系数为（    ） 
A .     B.  20  
C.    D.  160
8.如下图所示，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率（    ）
A.           B.         C.            D.
9．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为（    ）
　　A.          B.          C.                D.

10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
每次只能移动一个金属片；
在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则=（    ）
　A. 33         B. 31       C.17        D. 15

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为         
12.在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为8，则         
13.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为且 ，记矩形 
的周长为，则                         
14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为     

15.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．
设：由曲线和直线，所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足，，，的点构成的平面图形,绕轴旋转一周所得到的旋转体为.根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为            
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分13分)
　已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
　　（Ⅰ）设函数，试求的伴随向量的模；
（Ⅱ）记的伴随函数为，求使得关于的方程在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．

17．（本小题满分13分）
　　某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
　　奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
　　（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
　　（Ⅱ）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．

18．（本小题满分13分）
如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ∥，，，．
　　⑴证明：平面平面；
　　⑵当三棱锥体积最大时，求二面
　　角的余弦值．

19．（本小题满分13分）
　　已知圆，椭圆．
（Ⅰ）若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；
（Ⅱ）现有如下真命题：
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”；
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”．
据此,写出一般结论，并加以证明．
20．（本小题满分14分）已知函数，（）
（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
　已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.