2014江苏南京二模,盐城二模数学试题答案(2)

(x₁ ，y₁ )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x₂，y₂)．
（1）若x₁＝，求x₂；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
     △BOD的面积分别为S₁，S₂，且S₁＝S₂，求tanα的值．
16．解：（1）解法一：因为x₁＝，y₁＞0，所以y₁＝＝．
    所以sinα＝，cosα＝．                 ………………………2分
所以x₂＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－．       …………………………………6分
   解法二：因为x₁＝，y₁＞0，所以y₁＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分
         ＝(x₂，y₂)，   因为·＝||||cos∠AOB，所以x₂＋y₂＝ ……4分
        又x₂²＋y₂²＝1，联立消去y₂得50 x₂²－30x₂－7＝0
        解得x₂＝－或，又x₂＜0，所以x₂＝－．        ………………………6分
  解法三：因为x₁＝，y₁＞0，所以y₁＝＝．   因此A(，)，所以tanα＝．………2分
         所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x    ……………4分
        由得x＝±，又x₂＜0，所以x₂＝－．     …………………6分
（2）S₁＝sinαcosα＝－sin2α．                   …………………………………………8分
因为α(，)，所以α＋(，)．
    所以S₂＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分
    因为S₁＝S₂，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．    …………………………………12分
    所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．  因为α(，)，所以tanα＝2．………14分
17．(本小题满分14分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．               ………………………………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．                 …………………………………………6分
AP²＝AM²＋MP²－2 AM·MP·cos∠AMP
＝sin²(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)         ………………………………8分
＝sin²(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．                 …………………………………………12分
    当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．           ……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cos