南京三模,盐城三模2013数学答案及评分标准(4)

C．选修4—4：坐标系与参数方程
解  以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，
　　则圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4，
　　点M的直角坐标为(3，3)．                             …………………… 3分
　　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
　　设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，
　　由圆心C(，1)到直线l的距离等于半径2．
　　故＝2．                                        …………………… 6分
　　解得k＝0或k＝．
　　所以所求的直线l的直角坐标方程为y＝3或x－y－6＝0．    ………………… 8分
　　所以所求直线l的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．   …………………… 10分
D．选修4—5：不等式选讲
解  原不等式等价于 或       …………………… 5分
    解得或
　　　即4≤x＜2＋或3＜x＜4或x＜1．
　　　综上，原不等式的解集为{x| x＜1或3＜x＜2＋}．        …………………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．
22．解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．
　　　则A(0，0，0)，B(，1，0)，
　　　C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，
　　从而＝(，1，－2)， ＝(0，1，1)．
　　　设直线AE与PB所成角为θ，
　　　则cosθ＝||＝．
　　即直线AE与PB所成角的余弦值为 ．                     …………………… 4分
（2）设PA的长为a，则P(0，0，a)，从而＝(，1，－a)，＝(0，2，－a)．
　　设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0，
　　　所以x＋y－az＝0，2y－az＝0．
　　　令z＝2，则y＝a，x＝a．
　　　所以n1＝(a，a，2)是平面PBC的一个法向量．     
　　　因为D，E分别为PB，PC中点，所以D(，，)，E(0，1，)，
　　　则＝(，，)，＝(0，1，)．
　　设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·＝0，n2·＝0．
　　　所以x＋y＋z＝0，y＋z＝0．
　　　令z＝2，则y＝－a，x＝－a．
　　　所以n2＝(－a，－a，2)是平面ADE的一个法向量．       …………………… 8分
　　　因为面ADE⊥面PBC，
　　　所以n1⊥n2，即n1·n2＝(a，a，2)·(－ a，－a，2)＝－a2－a2＋4＝0，
　　　解得a＝，即PA的长为．                          …………………… 10分
23．解（1）p1＝，
　　p2＝×＋×(1－)＝．                               …………………… 2分
（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1－pn．
　　　于是移了n＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1＝pn＋(1－pn)＝pn＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………… 4分
　　　从而pn+1－＝(pn－)．
　　　所以数列{pn－}是等比数列，其首项为，公比为．
　　　所以pn－＝×()n－1．即pn＝＋×．                  …………………… 6分
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左式＝＝，右式＝，因为＞，所以不等式成立．
当n＝2时，左式＝＋＝，右式＝，因为＞，所以不等式成立．
②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即＞．
　　　则n＝k＋1时，左式＝＋＞＋＝＋．
　　　要证＋≥，
　　　只要证≥－．
　　　只要证≥．
　　　只要证≤．
　　　只要证3k+1≥2k2＋6k＋2．
　　　因为k≥2，
　　　所以3k+1＝3(1＋2)k≥3(1＋2k＋4C)＝6k2＋3＝2k2＋6k＋2＋2k(2k－3)＋1＞2k2＋6k＋2，
　　　所以＋≥．
　　　即n＝k＋1时，不等式也成立．
　　　由①②可知，不等式＞对任意的n∈N*都成立． ……………………10分

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